注册 登录  
 加关注
   显示下一条  |  关闭
温馨提示!由于新浪微博认证机制调整,您的新浪微博帐号绑定已过期,请重新绑定!立即重新绑定新浪微博》  |  关闭

银河之星

工作笔记本——查资料、听讲座、边看历史剧边查资料均只为工作

 
 
 

日志

 
 

圆周率  

2009-12-21 09:58:21|  分类: 银河流域 |  标签: |举报 |字号 订阅

  下载LOFTER 我的照片书  |

圆周率

2009年12月21日 - zyltsz196947 - zyltsz196947的博客

概述

圆周率,一般以π来表示,是一个在数学及物理学普遍存在的数学常数。它定义为圆形之周长与直径之比。它也等于圆形之面积与半径平方之比。是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。 在分析学上,π可以严格地定义为满足sin(x) = 0的最小正实数x。

目录[隐藏]

【圆周率的计算】
【圆周率的计算方法】
【圆周率的计算历史】
【圆周率的最新计算纪录】
【一些数字序列在π小数点后出现的位置】
【PC机上的计算】
  1. 【C++编译器中的运算程序】
【背圆周率的口诀】
【背圆周率小数点后位数多的人】
  1. 日本人的记录
  2. 中国人的记录
  3. 英国人的记录
【与π有关的等式】
【圆周率的计算】
【圆周率的计算方法】
【圆周率的计算历史】
【圆周率的最新计算纪录】
【一些数字序列在π小数点后出现的位置】
【PC机上的计算】
  1. 【C++编译器中的运算程序】
【背圆周率的口诀】
【背圆周率小数点后位数多的人】
  1. 日本人的记录
  2. 中国人的记录
  3. 英国人的记录


  【圆周率的历史】
  π=Pài(π=Pi)
  古希腊欧几里德几何原本》(约公元前3世纪初)中提到圆周率是常数,中国古算书《周髀算经》( 约公元前2世纪)中有“径一而周三”的记载,也认为圆周率是常数。历史上曾采用过圆周率的多种近似值,早期大都是通过实验而得到的结果,如古埃
2009年12月21日 - zyltsz196947 - zyltsz196947的博客

π

纸草书(约公元前1700)中取pi=(4/3)^4≒3.1604 。第一个用科学方法寻求圆周率数值的人是阿基米德,他在《圆的度量》(公元前3世纪)中用圆内接和外切正多边形的周长确定圆周长的上下界,从正六边形开始,逐次加倍计算到正96边形,得到(3+(10/71))<π<(3+(1/7)) ,开创了圆周率计算的几何方法(亦称古典方法,或阿基米德方法),得出精确到小数点后两位的π值。
  中国数学家刘徽在注释《九章算术》(263年)时只用圆内接正多边形就求得π的近似值,也得出精确到两位小数的π值,他的方法被后人称为割圆术。他用割圆术一直算到圆内接正192边形。
  南北朝时代著名数学家祖冲之进一步得出精确到小数点后7位的π值(约5世纪下半叶),给出不足近似值3.1415926和过剩近似值3.1415927,还得到两个近似分数值,密率355/113和约率22/7。他的辉煌成就比欧洲至少早了1000年。其中的密率在西方直到1573才由德国人奥托得到,1625年发表于荷兰工程师安托尼斯的著作中,欧洲称之为安托尼斯率。
  阿拉伯数学家卡西在15世纪初求得圆周率17位精确小数值,打破祖冲之保持近千年的纪录。
  德国数学家柯伦于1596年将π值算到20位小数值,后投入毕生精力,于1610年算到小数后35位数,该数值被用他的名字称为鲁道夫数。
  无穷乘积式、无穷连分数、无穷级数等各种π值表达式纷纷出现,π值计算精度也迅速增加。1706年英国数学家梅钦计算π值突破100位小数大关。1873 年另一位英国数学家尚可斯将π值计算到小数点后707位,可惜他的结果从528位起是错的。到1948年英国的弗格森和美国的伦奇共同发表了π的808位小数值,成为人工计算圆周率值的最高纪录。
  电子计算机的出现使π值计算有了突飞猛进的发展。1949年美国马里兰州阿伯丁的军队弹道研究实验室首次用计算机(ENIAC)计算π值,一下子就算到2037位小数,突破了千位数。1989年美国哥伦比亚大学研究人员用克雷-2型和IBM-VF型巨型电子计算机计算出π值小数点后4.8亿位数,后又继续算到小数点后10.1亿位数,创下最新的纪录。至今,最新纪录是小数点后25769.8037亿位。

【圆周率的计算】

  古今中外,许多人致力于圆周率的研究与计算。为了计算出圆周率的越来越好的近似值,一代代的数学家为这个神秘的数贡献了无数的时间与心血。
  十九世纪前,圆周率的计算进展相当缓慢,十九世纪后,计算圆周率的世界纪录频频创新。整个十九世纪,可以说是圆周率的手工计算量最大的世纪。
  进入二十世纪,随着计算机的发明,圆周率的计算有了突飞猛进。借助于超级计算机,人们已经得到了圆周率的2061亿位精度。
  历史上最马拉松式的计算,其一是德国的Ludolph Van Ceulen,他几乎耗尽了一生的时间,计算到圆的内接正262边形,于1609年得到了圆周率的35位精度值,以至于圆周率在德国被称为Ludolph数;其二是英国的威廉·山克斯,他耗费了15年的光阴,在1874年算出了圆周率的小数点后707位,并将其刻在了墓碑上作为一生的荣誉。可惜,后人发现,他从第528位开始就算错了。
  把圆周率的数值算得这么精确,实际意义并不大。现代科技领域使用的圆周率值,有十几位已经足够了。如果用鲁道夫算出的35位精度的圆周率值,来计算一个能把太阳系包起来的一个圆的周长,误差还不到质子直径的百万分之一。以前的人计算圆周率,是要探究圆周率是否循环小数。自从1761年兰伯特证明了圆周率是无理数,1882年林德曼证明了圆周率是超越数后,圆周率的神秘面纱就被揭开了。
  现在的人计算圆周率,多数是为了验证计算机的计算能力,还有,就是为了兴趣。

【圆周率的计算方法】

  古人计算圆周率,一般是用割圆法。即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长。阿基米德用正96边形得到圆周率小数点后3位的精度;刘徽用正3072边形得到5位精度;鲁道夫用正262边形得到了35位精度。这种基于几何的算法计算量大,速度慢,吃力不讨好。随着数学的发展,数学家们在进行数学研究时有意无意地发现了许多计算圆周率的公式。下面挑选一些经典的常用公式加以介绍。除了这些经典公式外,还有很多其它公式和由这些经典公式衍生出来的公式,就不一一列举了。
  1、马青公式
  π=16arctan1/5-4arctan1/239
  这个公式由英国天文学教授约翰·马青于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。马青公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数,所以可以很容易地在计算机上编程实现。
  还有很多类似于马青公式的反正切公式。在所有这些公式中,马青公式似乎是最快的了。虽然如此,如果要计算更多的位数,比如几千万位,马青公式就力不从心了。
  2、拉马努金公式
  1914年,印度天才数学家拉马努金在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。
  1989年,大卫·丘德诺夫斯基和格雷高里·丘德诺夫斯基兄弟将拉马努金公式改良,这个公式被称为丘德诺夫斯基公式,每计算一项可以得到15位的十进制精度。1994年丘德诺夫斯基兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。丘德诺夫斯基公式的另一个更方便于计算机编程的形式是:
  3、AGM(Arithmetic-Geometric Mean)算法
  高斯-勒让德公式:
  这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度,比如要计算100万位,迭代20次就够了。1999年9月,日本的高桥大介和金田康正用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位,创出新的世界纪录。
  4、波尔文四次迭代式:
  这个公式由乔纳森·波尔文和彼得·波尔文于1985年发表的。
  5、bailey-borwein-plouffe算法
  这个公式简称BBP公式,由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法,可以计算圆周率的任意第n位,而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。
  6、丘德诺夫斯基公式
  这是由丘德诺夫斯基兄弟发现的,十分适合计算机编程,是目前计算机使用较快的一个公式。以下是这个公式的一个简化版本:
  
2009年12月21日 - zyltsz196947 - zyltsz196947的博客

 
【圆周率的计算历史】

  圆周率—π
  ▲什么是圆周率?
  圆周率是一个常数,是代表圆周和直径的比例。它是一个无理数,即是一个无限不循环小数。但在日常生活中,通常都用3.14来代表圆周率去进行计算,即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算,也只取值至小数点后约20位。
  ▲什么是π?
  π是第十六个希腊字母,本来它是和圆周率没有关系的,但大数学家欧拉在一七三六年开始,在书信和论文中都用π来代表圆周率。既然他是大数学家,所以人们也有样学样地用π来表圆周率了。但π除了表示圆周率外,也可以用来表示其他事物,在统计学中也能看到它的出现。
  ▲圆周率的发展史
  在历史上,有不少数学家都对圆周率作出过研究,当中著名的有阿基米德(Archimedes of Syracuse)、托勒密(Claudius Ptolemy)、张衡、祖冲之等。他们在自己的国家用各自的方法,辛辛苦苦地去计算圆周率的值。下面,就是世上各个地方对圆周率的研究成果。
  亚洲:
  中国:
  魏晋时,刘徽曾用使正多边形的边数逐渐增加去逼近圆周的方法(即“割圆术”),求得π的近似值3.1416。
  汉朝时,张衡得出π的平方除以16等于5/8,即π等於10的开方(约为3.162)。虽然这个值不太准确,但它简单易理解,所以也在亚洲风行了一阵。 王蕃(229-267)发现了另一个圆周率值,这就是3.156,但没有人知道他是如何求出来的。
  公元5世纪,祖冲之和他的儿子以正24576边形,求出圆周率约为355/113,和真正的值相比,误差小於八亿分之一。这个纪录在一千年后才给打破。
  印度:
  约在公元530年,数学大师阿耶波多利用384边形的周长,算出圆周率约为√9.8684。
  婆罗门笈多采用另一套方法,推论出圆周率等于10的平方根。
  欧洲:
  斐波那契算出圆周率约为3.1418。
  韦达用阿基米德的方法,算出3.1415926535<π<3.1415926537
  他还是第一个以无限乘积叙述圆周率的人。
  鲁道夫万科伦以边数多过32000000000的多边形算出有35个小数位的圆周率。
  华理斯在1655年求出一道公式π/2=2×2×4×4×6×6×8×8...../3×3×5×5×7×7×9×9......
  欧拉发现的e的iπ次方加1等于0,成为证明π是超越数的重要依据。
  之后,不断有人给出反正切公式或无穷级数来计算π,在这里就不多说了。
  π与电脑的关系
  在1949年,美国制造的世上首部电脑—ENIAC(Electronic Numerical Interator and Computer)在亚伯丁试验场启用了。次年,里特韦斯纳、冯纽曼和梅卓普利斯利用这部电脑,计算出π的2037个小数位。这部电脑只用了70小时就完成了这项工作,扣除插入打孔卡所花的时间,等於平均两分钟算出一位数。五年后,NORC(海军兵器研究计算机)只用了13分钟,就算出π的3089个小数位。科技不断进步,电脑的运算速度也越来越快,在60年代至70年代,随著美、英、法的电脑科学家不断地进行电脑上的竞争,π的值也越来越精确。在1973年,Jean Guilloud和M. Bouyer发现了π的第一百万个小数位。
  在1976年,新的突破出现了。萨拉明(Eugene Salamin)发表了一条新的公式,那是一条二次收敛算则,也就是说每经过一次计算,有效数字就会倍增。高斯以前也发现了一条类似的公式,但十分复杂,在那没有电脑的时代是不可行的。之后,不断有人以高速电脑结合类似萨拉明的算则来计算π的值。目前为止,π的值己被算至小数点后51,000,000,000个位。
  为什么要继续计算π
  其实,即使是要求最高、最准确的计算,也用不著这麼多的小数位,那么,为什么人们还要不断地努力去计算圆周率呢?
  这是因为,用这个方法就可以测试出电脑的毛病。如果在计算中得出的数值出了错,这就表示硬体有毛病或软体出了错,这样便需要进行更改。同时,以电脑计算圆周率也能使人们产生良性的竞争,科技也能得到进步,从而改善人类的生活。就连微积分、高等三角恒等式,也是由研究圆周率的推动,从而发展出来的。
  ▲π的年表
  圆周率的发展
  年代 求证者 内容
  古代 中国周髀算经 周三径一;
  圆周率=3
  西方圣经
  元前三世 阿基米德(希腊) 1. 圆面积等於分别以半圆周和径为边长的矩形
  的面积
  2.圆面积与以直径为长的正方形面积之比为11:14
  3. 圆的周长与直径之比小於3 1/7 ,大於
  3 10/71
  三世纪 刘徽
  中国 用割圆术得圆周率=3.1416称为“徽率”
  五世纪 祖冲之
  中国 1. 3.1415926<圆周率<3.1415927
  2. 约率 = 22/7
  3. 密率 = 355/113
  1596年 鲁道尔夫
  荷兰 正确计萛得?的35 位数字
  1579年 韦达
  法国“韦达公式”以级数无限项乘积表示?
  1600年 威廉.奥托兰特
  英国 用?/σ表示圆周率
  π是希腊文圆周的第一个字母
  σ是希腊文直径的第一个字母
  1655年 渥里斯
  英国 开创利用无穷级数求?的先例
  1706年 马淇
  英国 ‘马淇公式’计算出?的100 位数字
  1706年 琼斯
  英国 首先用?表示圆周率
  1789年 乔治.威加
  英国 准确计萛?至126 位
  1841年 鲁德福特
  英国 准确计萛?至152 位
  1847年 克劳森
  英国 准确计萛?至248 位
  1873年 威廉.谢克斯
  英国 准确计萛?至527 位
  1948年 费格森和雷恩奇
  英国 美国 准确计萛?至808 位
  1949年 赖脱威逊
  美国 用计算机将?计算到2034位
  现代 用电子计算机可将?计算到亿位

 
【圆周率的最新计算纪录】

  1、新世界纪录
  圆周率的最新计算纪录由日本筑波大学所创造。他们于2009年算出π值2,576,980,370,000 位小数,这一结果打破了由日本人金田康正的队伍于2002年创造的1,241,100,000,000位小数的世界纪录。
  2、个人计算圆周率的世界纪录
  11月20日,在位于陕西杨凌的西北农林科技大学,生命科学学院研究生吕超结束背诵圆周率之后,戴上了象征成功的花环。当日,吕超同学不间断、无差错背诵圆周率至小数点后67890位,此前,背诵圆周率的吉尼斯世界纪录为无差错背诵小数点后42195位。整个过程用时24小时04分。(新华社报道)

 
【一些数字序列在π小数点后出现的位置】

  数字序列 出现的位置
  01234567891 26,852,899,245 41,952,536,161 99,972,955,571 102,081,851,717 171,257,652,369
  01234567890 53,217,681,704 148,425,641,592
  432109876543 149,589,314,822
  543210987654 197,954,994,289
  98765432109 123,040,860,473 133,601,569,485 150,339,161,883 183,859,550,237
  09876543210 42,321,758,803 57,402,068,394 83,358,197,954
  10987654321 89,634,825,550 137,803,268,208 152,752,201,245
  27182818284 45,111,908,393

 
【PC机上的计算】

  1、PiFast
  目前PC机上流行的最快的圆周率计算程序是PiFast。它除了计算圆周率,还可以计算e和sqrt(2)。PiFast可以利用磁盘缓存,突破物理内存的限制进行超高精度的计算,最高计算位数可达240亿位,并提供基于Fabrice Bellard公式的验算功能。
  2、PC机上的最高计算记录
  最高记录:12,884,901,372位
  时间:2000年10月10日
  记录创造者:Shigeru Kondo
  所用程序:PiFast ver3.3
  机器配置:Pentium III 1G,1792M RAM,WindowsNT4.0,40GBx2(IDE,FastTrak66)
  计算时间:1,884,375秒(21.809895833333333333333333333333天)
  验算时间:29小时
  

【C++编译器中的运算程序】


  
  微机WindowsXP中Dev-cpp中的运算程序(30000位)(C++
  #include <cstdlib>
  #include <iostream>
  #include <fstream>
  #define N 30015
  using namespace std;
  void mult (int *a,int b,int *s)
  {
  for (int i=N,c=0;i>=0;i--)
  {
  int y=(*(a+i))*b+c;
  c=y/10;
  *(s+i)=y%10;
  }
  }
  void divi (int *a,int b,int *s)
  {
  for (int i=0,c=0;i<=N;i++)
  {
  int y=(*(a+i))+c*10;
  c=y%b;
  *(s+i)=y/b;
  }
  }
  void incr(int *a,int *b,int *s)
  {
  for (int i=N,c=0;i>=0;i--)
  {
  int y=(*(a+i))+(*(b+i))+c;
  c=y/10;
  *(s+i)=y%10;
  }
  }
  bool eqs(int *a,int *b)
  {
  int i=0;
  while (((*(a+i))==(*(b+i)))&&(i<=N)) i++;
  return i>N;
  }
  int main(int argc, char *argv[])
  {
  cout << "正在计算 . . . (0%)";
  int lpi[N+1],lls[N+1],lsl[N+1],lp[N+1];
  int *pi=lpi,*ls=lls,*sl=lsl,*p=lp;
  for (int i=0;i<=N;i++)*(pi+i)=*(ls+i)=*(sl+i)=*(p+i)=0;
  memset(pi,0,sizeof(pi));
  memset(ls,0,sizeof(ls));
  memset(sl,0,sizeof(sl));
  memset(p,0,sizeof(p));
  *pi=*ls=*sl=1;
  for (int i=1;true;i++)
  {
  mult(ls,i,sl);
  divi(sl,2*i+1,ls);
  incr(pi,ls,p);
  if (eqs(pi,p))
  {
  cout << "\b\b\b\b100%)\n";
  break;
  }
  int *t;
  t=p;
  p=pi;
  pi=t;
  //if (i%1000==0) cout << i << " ";
  if(i%1000 == 0)
  {
  /*cout << i/1000 << "% ";
  if(i%5000 == 0)
  cout << endl;*/
  if(i/1000 < 11)
  {
  cout << "\b\b\b";
  } else {
  cout << "\b\b\b\b";
  }
  cout << i/1000 << "%)";
  }
  }
  cout << endl;
  cout << "计算完成\n正在保存 . . .\n";
  mult(p,2,pi);
  ofstream fout("pi.txt");
  fout << *pi << ".";
  for (int i=1;i <= N - 15;i++)
  {
  fout << *(pi+i);
  if (i%10==0) fout << " ";
  if (i%80==0) fout << endl;
  }
  cout << "保存完成\n";
  cout<< "按回车键退出";
  cin.peek();
  return EXIT_SUCCESS;
  }
  注:①运行时会有数据弹出,这无关紧要,只为了加快了感觉速度;
  注:程序中有语法错误。请高人改正。
  运行环境 CodeBlocks C++
  #include <iostream>
  using namespace std;
  long long a=1000000, b, c=2800000, d, e, f[2801000], g;
  int main()
  {
  for( ;b-c; ) f[b++] =a/5;
  for( ; d=0, g=c*2; c-=14,printf("%.4d",e+d/a),e=d%a)
  for(b=c; d+=f[b]*a,f[b] =d%--g,d/=g--,--b; d*=b ) ;
  return 0;
  }
  注:在自己机器上运行
  CPU使用率一直在百分之六十
  运算结果在30000位左右

 
【背圆周率的口诀】

  3 . 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4 6 2 6
  山巅一寺一壶酒,尔乐苦煞吾,把酒吃,酒杀尔,杀不死,乐尔乐。
  4 3 3 8 3 2 7 9 5 0 2 8 8 4 1 9 7 1 6 9 3 9 9 3 7
  死珊珊,霸占二妻。救我灵儿吧!不只要救妻,一路救三舅,救三妻。
  5 1 0 5 8 2 0 9 7 4 9 4 4 5 9 2 3 0 7
  我一拎我爸,二拎舅(其实就是撕我舅耳)三拎妻。
  8 1 6 4 0 6 2 8 6 2 0 8 9 9 8 6
  不要溜!司令溜,儿不溜!儿拎爸,久久不溜!
  (作者华罗庚
  来历:有个教书先生,喜欢喝酒,每次总是给学生留道题,就到私塾的后山上找山上的老和尚喝酒。这天,他给学生留了道题,就是背这个圆周率,然后自己提壶酒就到山上的庙里去了。圆周率位数这么多,不好背啊,其中有个聪明的学生就想出了一个办法,把圆周率编了个打油诗:山巅一寺一壶酒,尔乐苦煞吾,把酒吃;酒杀尔杀不死,乐尔乐。其实就是3.1415926535897932384626的谐音。先生一回来,学生居然都把这个给背了下来,很是奇怪,一想,就什么都明白了,原来是在讽刺他呀……
  圆周率前面几位最好的一种记忆口诀就是:三天一士一壶酒(3.14159)
  中国人用的是谐音记忆法,外国人(母语为英语的)一般用字长记忆法。例:
  3. 1 4 1 5 9
  Now I, even I, would celebrate
  2 6 5 3 5
  In rhymes inapt, the great
  8 9 7 9
  Immortal Syracusan, rivaled nevermore,
  3 2 3 8 4
  Who in his wondrous lore,
  6 2 6
  Passed on before,
  4 3 3 8
  Left men his guidance
  3 2 7 9
  How to circles mensurate.

 
【背圆周率小数点后位数多的人】

  

日本人的记录


  
  背诵圆周率最多的人:日本人原口证(于2006年10月3日至4日背诵圆周率小数後第100,000位数,总计背诵时间为16个小时半)
  一学生背圆周率至小数点后6万位。
  

中国人的记录


  
  截至20日14时56分,西北农林科技大学硕士研究生吕超用24小时零4分钟,不间断无差错地背诵圆周率至小数点后67890位,从而刷新由一名日本学生于1995年创造的无差错背诵圆周率至小数点后42195位的吉尼斯世界纪录。
  生于1982年11月的吕超,2001年由湖北枣阳市考入西北农林科技大学生命科学2005年被推荐免试攻读本校的应用化学硕士学位。他有较强的记忆能力,特别擅长背诵和默写数字,通常记忆100位数字只需10分钟。吕超从4年前开始背诵圆周率,近1年来加紧准备,目前能够记住的圆周率位数超过9万位。在20日的背诵中,吕超背诵至小数点后67890位时将“0”背为“5”发生错误,挑战结束。
  圆周率是一个无穷小数,到目前为止,专家利用超级电脑已计算圆周率到小数点后约100万兆位。据介绍,挑战背诵圆周率吉尼斯世界纪录的规则是:必须大声地背出;背诵过程中不能给予帮助或(视觉与听觉方面的)提示,也不能有任何形式的协助;背诵必须连续,两个数字之间的间隔不得超过15秒;背诵出错时可以更正,但更正必须是在说出下一个数字之前;任何错误(除非错误被立刻更正)都将使挑战失败。因此,吕超在背诵前进行了全面体检,并由家长签字同意,背诵过程中还使用了尿不湿和葡萄糖、咖啡、巧克力来解决上厕所和进食等生理问题。
  

英国人的记录


  3月14日,在英国牛津大学科学历史博物馆礼堂内众多专家和观众面前,为了替英国“癫痫症治疗协会”募集资金,英国肯特郡亨里湾的丹尼尔·塔曼特在5小时之内成功地将圆周率背诵到了小数点后面22514位!据悉,塔曼特是世界上25位拥有这项“惊人绝技”的记忆专家之一!
  据报道,现年25岁的塔曼特是在小时候患了癫痫症后,才突然发现自己拥有“记忆数字”的惊人能力的。长大并战胜自己的疾病后,塔曼特成了一名记忆专家,他不仅精通多种语言,还成立了一间“记忆技巧公司”。
  塔曼特是欧洲背诵圆周率小数点后数字最多的人,但却并不是世界第一。据称,最厉害的人是一名马来西亚大学生,他曾在15小时内将圆周率背诵到小数点后67053位.

 
【与π有关的等式】

  (π^2)/6 = 1/1^2 + 1/2^2 + 1/3^2 + ······ + 1/n^2 + ······
  e^(πi) + 1 = 0
  e^(-x^2) 在-∞到+∞上的积分是√π
  sinx/x 在0到∞上的积分是π/2
  [瓦里斯公式] π/2 = lim (n→∞) [ (2n)!! / (2n-1)!! ]^2 / (2n+1)
  【9100位之内的圆周率】
  3.
  1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 : 50
  5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 : 100
  8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 : 150
  4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 : 200
  4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 : 250
  4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 : 300
  7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 : 350
  7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 : 400
  3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 : 450
  0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 : 500
  9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 : 550
  6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 : 600
  0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 : 650
  1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 : 700
  4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 : 750
  5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 : 800
  5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 : 850
  7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 : 900
  5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 : 950
  1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989 : 1000
  3809525720 1065485863 2788659361 5338182796 8230301952 : 1050
  0353018529 6899577362 2599413891 2497217752 8347913151 : 1100
  5574857242 4541506959 5082953311 6861727855 8890750983 : 1150
  8175463746 4939319255 0604009277 0167113900 9848824012 : 1200
  8583616035 6370766010 4710181942 9555961989 4676783744 : 1250
  9448255379 7747268471 0404753464 6208046684 2590694912 : 1300
  9331367702 8989152104 7521620569 6602405803 8150193511 : 1350
  2533824300 3558764024 7496473263 9141992726 0426992279 : 1400
  6782354781 6360093417 2164121992 4586315030 2861829745 : 1450
  5570674983 8505494588 5869269956 9092721079 7509302955 : 1500
  3211653449 8720275596 0236480665 4991198818 3479775356 : 1550
  6369807426 5425278625 5181841757 4672890977 7727938000 : 1600
  8164706001 6145249192 1732172147 7235014144 1973568548 : 1650
  1613611573 5255213347 5741849468 4385233239 0739414333 : 1700
  4547762416 8625189835 6948556209 9219222184 2725502542 : 1750
  5688767179 0494601653 4668049886 2723279178 6085784383 : 1800
  8279679766 8145410095 3883786360 9506800642 2512520511 : 1850
  7392984896 0841284886 2694560424 1965285022 2106611863 : 1900
  0674427862 2039194945 0471237137 8696095636 4371917287 : 1950
  4677646575 7396241389 0865832645 9958133904 7802759009 : 2000
  9465764078 9512694683 9835259570 9825822620 5224894077 : 2050
  2671947826 8482601476 9909026401 3639443745 5305068203 : 2100
  4962524517 4939965143 1429809190 6592509372 2169646151 : 2150
  5709858387 4105978859 5977297549 8930161753 9284681382 : 2200
  6868386894 2774155991 8559252459 5395943104 9972524680 : 2250
  8459872736 4469584865 3836736222 6260991246 0805124388 : 2300
  4390451244 1365497627 8079771569 1435997700 1296160894 : 2350
  4169486855 5848406353 4220722258 2848864815 8456028506 : 2400
  0168427394 5226746767 8895252138 5225499546 6672782398 : 2450
  2 圆周率(20000位)
  6456596116 3548862305 7745649803 5593634568 1743241125 : 2500
  1507606947 9451096596 0940252288 7971089314 5669136867 : 2550
  2287489405 6010150330 8617928680 9208747609 1782493858 : 2600
  9009714909 6759852613 6554978189 3129784821 6829989487 : 2650
  2265880485 7564014270 4775551323 7964145152 3746234364 : 2700
  5428584447 9526586782 1051141354 7357395231 1342716610 : 2750
  2135969536 2314429524 8493718711 0145765403 5902799344 : 2800
  0374200731 0578539062 1983874478 0847848968 3321445713 : 2850
  8687519435 0643021845 3191048481 0053706146 8067491927 : 2900
  8191197939 9520614196 6342875444 0643745123 7181921799 : 2950
  9839101591 9561814675 1426912397 4894090718 6494231961 : 3000
  5679452080 9514655022 5231603881 9301420937 6213785595 : 3050
  6638937787 0830390697 9207734672 2182562599 6615014215 : 3100
  0306803844 7734549202 6054146659 2520149744 2850732518 : 3150
  6660021324 3408819071 0486331734 6496514539 0579626856 : 3200
  1005508106 6587969981 6357473638 4052571459 1028970641 : 3250
  4011097120 6280439039 7595156771 5770042033 7869936007 : 3300
  2305587631 7635942187 3125147120 5329281918 2618612586 : 3350
  7321579198 4148488291 6447060957 5270695722 0917567116 : 3400
  7229109816 9091528017 3506712748 5832228718 3520935396 : 3450
  5725121083 5791513698 8209144421 0067510334 6711031412 : 3500
  6711136990 8658516398 3150197016 5151168517 1437657618 : 3550
  3515565088 4909989859 9823873455 2833163550 7647918535 : 3600
  8932261854 8963213293 3089857064 2046752590 7091548141 : 3650
  6549859461 6371802709 8199430992 4488957571 2828905923 : 3700
  2332609729 9712084433 5732654893 8239119325 9746366730 : 3750
  5836041428 1388303203 8249037589 8524374417 0291327656 : 3800
  1809377344 4030707469 2112019130 2033038019 7621101100 : 3850
  4492932151 6084244485 9637669838 9522868478 3123552658 : 3900
  2131449576 8572624334 4189303968 6426243410 7732269780 : 3950
  2807318915 4411010446 8232527162 0105265227 2111660396 : 4000
  6655730925 4711055785 3763466820 6531098965 2691862056 : 4050
  4769312570 5863566201 8558100729 3606598764 8611791045 : 4100
  3348850346 1136576867 5324944166 8039626579 7877185560 : 4150
  8455296541 2665408530 6143444318 5867697514 5661406800 : 4200
  7002378776 5913440171 2749470420 5622305389 9456131407 : 4250
  1127000407 8547332699 3908145466 4645880797 2708266830 : 4300
  6343285878 5698305235 8089330657 5740679545 7163775254 : 4350
  2021149557 6158140025 0126228594 1302164715 5097925923 : 4400
  0990796547 3761255176 5675135751 7829666454 7791745011 : 4450
  2996148903 0463994713 2962107340 4375189573 5961458901 : 4500
  9389713111 7904297828 5647503203 1986915140 2870808599 : 4550
  0480109412 1472213179 4764777262 2414254854 5403321571 : 4600
  8530614228 8137585043 0633217518 2979866223 7172159160 : 4650
  7716692547 4873898665 4949450114 6540628433 6639379003 : 4700
  9769265672 1463853067 3609657120 9180763832 7166416274 : 4750
  8888007869 2560290228 4721040317 2118608204 1900042296 : 4800
  6171196377 9213375751 1495950156 6049631862 9472654736 : 4850
  4252308177 0367515906 7350235072 8354056704 0386743513 : 4900
  3 圆周率(20000位)
  6222247715 8915049530 9844489333 0963408780 7693259939 : 4950
  7805419341 4473774418 4263129860 8099888687 4132604721 : 5000
  5695162396 5864573021 6315981931 9516735381 2974167729 : 5050
  4786724229 2465436680 0980676928 2382806899 6400482435 : 5100
  4037014163 1496589794 0924323789 6907069779 4223625082 : 5150
  2168895738 3798623001 5937764716 5122893578 6015881617 : 5200
  5578297352 3344604281 5126272037 3431465319 7777416031 : 5250
  9906655418 7639792933 4419521541 3418994854 4473456738 : 5300
  3162499341 9131814809 2777710386 3877343177 2075456545 : 5350
  3220777092 1201905166 0962804909 2636019759 8828161332 : 5400
  3166636528 6193266863 3606273567 6303544776 2803504507 : 5450
  7723554710 5859548702 7908143562 4014517180 6246436267 : 5500
  9456127531 8134078330 3362542327 8394497538 2437205835 : 5550
  3114771199 2606381334 6776879695 9703098339 1307710987 : 5600
  0408591337 4641442822 7726346594 7047458784 7787201927 : 5650
  7152807317 6790770715 7213444730 6057007334 9243693113 : 5700
  8350493163 1284042512 1925651798 0694113528 0131470130 : 5750
  4781643788 5185290928 5452011658 3934196562 1349143415 : 5800
  9562586586 5570552690 4965209858 0338507224 2648293972 : 5850
  8584783163 0577775606 8887644624 8246857926 0395352773 : 5900
  4803048029 0058760758 2510474709 1643961362 6760449256 : 5950
  2742042083 2085661190 6254543372 1315359584 5068772460 : 6000
  2901618766 7952406163 4252257719 5429162991 9306455377 : 6050
  9914037340 4328752628 8896399587 9475729174 6426357455 : 6100
  2540790914 5135711136 9410911939 3251910760 2082520261 : 6150
  8798531887 7058429725 9167781314 9699009019 2116971737 : 6200
  2784768472 6860849003 3770242429 1651300500 5168323364 : 6250
  3503895170 2989392233 4517220138 1280696501 1784408745 : 6300
  1960121228 5993716231 3017114448 4640903890 6449544400 : 6350
  6198690754 8516026327 5052983491 8740786680 8818338510 : 6400
  2283345085 0486082503 9302133219 7155184306 3545500766 : 6450
  8282949304 1377655279 3975175461 3953984683 3936383047 : 6500
  4611996653 8581538420 5685338621 8672523340 2830871123 : 6550
  2827892125 0771262946 3229563989 8989358211 6745627010 : 6600
  2183564622 0134967151 8819097303 8119800497 3407239610 : 6650
  3685406643 1939509790 1906996395 5245300545 0580685501 : 6700
  9567302292 1913933918 5680344903 9820595510 0226353536 : 6750
  1920419947 4553859381 0234395544 9597783779 0237421617 : 6800
  2711172364 3435439478 2218185286 2408514006 6604433258 : 6850
  8856986705 4315470696 5747458550 3323233421 0730154594 : 6900
  0516553790 6866273337 9958511562 5784322988 2737231989 : 6950
  8757141595 7811196358 3300594087 3068121602 8764962867 : 7000
  4460477464 9159950549 7374256269 0104903778 1986835938 : 7050
  1465741268 0492564879 8556145372 3478673303 9046883834 : 7100
  3634655379 4986419270 5638729317 4872332083 7601123029 : 7150
  9113679386 2708943879 9362016295 1541337142 4892830722 : 7200
  0126901475 4668476535 7616477379 4675200490 7571555278 : 7250
  1965362132 3926406160 1363581559 0742202020 3187277605 : 7300
  2772190055 6148425551 8792530343 5139844253 2234157623 : 7350
  4 圆周率(20000位)
  3610642506 3904975008 6562710953 5919465897 5141310348 : 7400
  2276930624 7435363256 9160781547 8181152843 6679570611 : 7450
  0861533150 4452127473 9245449454 2368288606 1340841486 : 7500
  3776700961 2071512491 4043027253 8607648236 3414334623 : 7550
  5189757664 5216413767 9690314950 1910857598 4423919862 : 7600
  9164219399 4907236234 6468441173 9403265918 4044378051 : 7650
  3338945257 4239950829 6591228508 5558215725 0310712570 : 7700
  1266830240 2929525220 1187267675 6220415420 5161841634 : 7750
  8475651699 9811614101 0029960783 8690929160 3028840026 : 7800
  9104140792 8862150784 2451670908 7000699282 1206604183 : 7850
  7180653556 7252532567 5328612910 4248776182 5829765157 : 7900
  9598470356 2226293486 0034158722 9805349896 5022629174 : 7950
  8788202734 2092222453 3985626476 6914905562 8425039127 : 8000
  5771028402 7998066365 8254889264 8802545661 0172967026 : 8050
  6407655904 2909945681 5065265305 3718294127 0336931378 : 8100
  5178609040 7086671149 6558343434 7693385781 7113864558 : 8150
  7367812301 4587687126 6034891390 9562009939 3610310291 : 8200
  6161528813 8437909904 2317473363 9480457593 1493140529 : 8250
  7634757481 1935670911 0137751721 0080315590 2485309066 : 8300
  9203767192 2033229094 3346768514 2214477379 3937517034 : 8350
  4366199104 0337511173 5471918550 4644902636 5512816228 : 8400
  8244625759 1633303910 7225383742 1821408835 0865739177 : 8450
  1509682887 4782656995 9957449066 1758344137 5223970968 : 8500
  3408005355 9849175417 3818839994 4697486762 6551658276 : 8550
  5848358845 3142775687 9002909517 0283529716 3445621296 : 8600
  4043523117 6006651012 4120065975 5851276178 5838292041 : 8650
  9748442360 8007193045 7618932349 2292796501 9875187212 : 8700
  7267507981 2554709589 0455635792 1221033346 6974992356 : 8750
  3025494780 2490114195 2123828153 0911407907 3860251522 : 8800
  7429958180 7247162591 6685451333 1239480494 7079119153 : 8850
  2673430282 4418604142 6363954800 0448002670 4962482017 : 8900
  9289647669 7583183271 3142517029 6923488962 7668440323 : 8950
  2609275249 6035799646 9256504936 8183609003 2380929345 : 9000
  9588970695 3653494060 3402166544 3755890045 6328822505 : 9050
  4525564056 4482465151 8754711962 1844396582 533754388

参考资料:
  1. 百度空间的相关文章
    丘德诺夫斯基公式 2009年12月21日 - zyltsz196947 - zyltsz196947的博客
扩展阅读:
1.《说不尽的π》,科学出版社
开放分类:
科学数学常数圆周率超越数
  评论这张
 
阅读(999)| 评论(0)
推荐 转载

历史上的今天

评论

<#--最新日志,群博日志--> <#--推荐日志--> <#--引用记录--> <#--博主推荐--> <#--随机阅读--> <#--首页推荐--> <#--历史上的今天--> <#--被推荐日志--> <#--上一篇,下一篇--> <#-- 热度 --> <#-- 网易新闻广告 --> <#--右边模块结构--> <#--评论模块结构--> <#--引用模块结构--> <#--博主发起的投票-->
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

页脚

网易公司版权所有 ©1997-2017